如图,D为△ABC中线AM的中点,过M作AB、AC边的垂线,垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.

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  • 证明:(1)连接DN,

    ∵D为△ABC中线AM的中点,

    ∴AD=MD,MB=CM,

    ∵MP⊥AB,MQ⊥AC,

    ∴∠APM=∠AQM=90°,

    ∴△APM、△AMQ是直角三角形,

    ∴PD=

    AM,QD=

    AM,

    ∴PD=QD,

    ∴Rt△DPN≌Rt△DQN(HL),

    ∴NP=PQ;

    (2)取BM、CM的中点S、T,

    连接SP、SN、TQ、TN,

    ∴SP=

    BM=

    MC=TQ,

    ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM

    =90°﹣∠B﹣∠DPA

    =90°﹣∠B﹣∠BAM

    =90°﹣∠AMC

    =90°﹣∠DMQ﹣∠QMT

    =90°﹣∠DQM﹣∠MQT

    =∠TQN,

    ∴△SPN≌△TQN,

    ∴SN=TN,

    ∵SM=TM,

    ∴NM⊥BC