Question

高数椭圆问题.已知椭圆的中心O在坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点A（1/2,√3）,B(√3/2,1)(1).求椭圆的方

Answer 1

(1)

设方程为x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

因为椭圆过A,B,

所以将A,B坐标带入,

解得：a^2 = 1 b^2 = 4

所以椭圆方程：x^2 + y^2 / 4 = 1

(2)

首先,若直线l斜率不存在,

即直线l为x=2,

则此直线与椭圆无交点.

不符题意.

则,设直线斜率为k

y=k(x-2)

与椭圆方程联立,化简得：

(k^2 + 4)x^2 - 4k^2 x + 4k^2 - 4 = 0

设交点C(x1, kx1 - 2k),交点D(x2, kx2 - 2k)

因为OC⊥OD

所以向量OC与向量OD的数量积=

x1 x2 + k^2(x1-2)(x2-2)

=(1+k^2)x1 x2 - 2k^2 (x1+x2) + 4k^2 = 0

由韦达定理：

x1 * x2 = 4(k^2 - 1)/(k^2 + 4)

x1 + x2 = 4k^2 / (k^2 + 4)

代入上面的方程,解得：

k^2 = 1/4

k = ± 1/2

所以直线l的解析式为：

y = ±1/2 * (x-2)