解题思路：（Ⅰ）求出函数的导函数，直接由f′（1）=0求解a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出极值即可；
（Ⅱ）将问题转化为f′（x）≥0在[-2，2]上恒成立，利用分类讨论的思想进行参变量分离，转化成求函数的最值，求解即可得到实数a的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=x3-ax2+3x，a∈R，
∴f'（x）=3x2-2ax+3，
∵x=3是f（x）的极值点，
∴f'（3）=30-6a=0，解得a=5，
∴f（x）=x3-5x2+3x，f'（x）=3x2-10x+3，
令f′（x）=0，解得x=[1/3]或x=3，
∴f（x）在（-∞，[1/3]）上单调递增，在（[1/3]，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴当x=[1/3]时，函数f（x）取得极大值f（[1/3]）=[13/27]，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=-9；
（Ⅱ）∵函数f（x）是[-2，2]上的单调递增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax+3≥0在[-2，2]上恒成立，即2ax≤3x2+3在[-2，2]上恒成立，
①当x=0时，0≤3恒成立，符合题意；
②当0＜x≤2时，a≤[3/2(x+
1
x)在0＜x≤2上恒成立，即a≤[
3
2(x+
1
x)]min，
∵当x＞0时，x+
1
x]≥2（当x=1时取等号），
∴a≤3；
③当-2≤x＜0时，a≥
3
2(x+
1
x)在-2≤x＜0上恒成立，即a≥[
3
2(x+
1
x)]max，
∵当x＜0时，x+
1
x≤−2(当x＝−1时取等号)，
∴a≥-3．
综合①②③，实数a的取值范围为-3≤a≤3．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及利用导数求函数的极值，同时考查了已知函数的单调性可以转化为恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离的方法进行求解，考查了分类讨论的数学思想方法．属于中档题．