Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）,它的上下顶点分别是A、B,点M是椭圆上的动点（不与A、B重合）

Answer 1

(1)设M（a·sinα,b·cosα）得到 直线AM y=((b·cosα-b)/a·sinα)x+b然后可得N（a·sinα/(cosα-1),2b)因此,向量BN=（a·sinα/(cosα-1),3b) 向量BM=（a·sinα,b·cosα+b）二者垂直,因此乘积为0. 转化后得到a^2=3b^2(用到sinα平方+cosα平方=1） e=√1-b^2/a^2=√2/3(2)由(1)可把椭圆方程转化为x^2+3y^2=3b^2 设P(x1,y1),Q(x2,y2) .设直线l：y=x+m向量OP+向量OQ=（x1+x2 ,y1+y2）把直线l代入到椭圆的方程可以得到4x^2+6mx+3m^2+3b^2=0 推出 x1+x2=-3m/2 同样可以得到4y^2-2my+m^2+3b^2=0 推出 y1+y2=m/2故向量OP+向量OQ=（-3m/2,m/2） 与向量a=（-3,1）共线