解题思路：（Ⅰ）确定f（x）的定义域，求导数，确定f（x）在区间
[
1
e
，e]
上的最值只可能在
f(1)，f(
1
e
)，f(e)
取到，即可求得结论；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调性．
（Ⅰ）当a＝−
1
2时，f(x)＝−
1
2lnx+
x2
4+1，
∴f′(x)＝
−1
2x+
x
2＝
x2−1
2x．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）
∴f（x）在区间[
1
e，e]上的最值只可能在f(1)，f(
1
e)，f(e)取到，
而f(1)＝
5
4，f(
1
e)＝
3
2+
1
4e2，f(e)＝
1
2+
e2
4，
∴f(x)max＝f(e)＝
1
2+
e2
4，f(x)min＝f(1)＝
5
4．---------------------------（6分）
（Ⅱ）f′(x)＝
(a+1)x2+a
x，x∈(0，+∞)．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）
②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得x2＞
−a
a+1，∴x＞
−a
a+1或x＜−
−a
a+1（舍去）
∴f（x）在(
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．