解题思路:(1)根据诱导公式化简,得f(x)=-cosx.再由sin(-x-π)=
−
4
5
得sinx=
−
4
5
,利用同角三角函数的关系结合x是第三象限的角,算出f(x)=-cosx=[3/5];
(1)由f(x)表达式,结合诱导公式与同角三角函数的平方关系化简,得
y=2
f
2
(x)+f(
π
2
+x)+1
═-2(sinx-[1/4])2+[25/8],再由二次函数的单调性结合sinx∈[-1,1],即可算出所求函数的值域.
根据题意,得
f(x)=
sin(x−3π)•cos(2π−x)•sin(−x+
3π
2)
cos(−x−π)•cos(
π
2−x)
=
−sinx•cosx•sin(−x−
π
2)
−cosx•sinx=sin(-x-[π/2])=-sin([π/2]-x)=-cosx
(1)∵x是第三象限的角,且sin(-x-π)=−
4
5,
∴sinx=−
4
5,可得cosx=-
1−sin2x=-[3/5],
由此可得f(x)=-cosx=[3/5];
(2)函数y=2f2(x)+f(
π
2+x)+1=2cos2x-cos([π/2+x)+1
即y=2cos2x+sinx+1=-2(sinx-
1
4])2+[25/8]
∵sinx∈[-1,1],
∴当sinx=[1/4]时,函数的最大值为[25/8];当sinx=-1时,函数的最小值为0
因此,函数y=2f2(x)+f(
π
2+x)+1的值域为[0,[25/8]]
点评:
本题考点: 运用诱导公式化简求值.
考点点评: 本题题将一个三角函数式化简,求特殊函数值并求另一函数的值域.着重考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系与二次函数的图象与性质等知识,属于中档题.