已知f(x)=sin(x−3π)•cos(2π−x)•sin(−x+3π2)cos(−x−π)•cos(π2−x)

1个回答

  • 解题思路:(1)根据诱导公式化简,得f(x)=-cosx.再由sin(-x-π)=

    4

    5

    得sinx=

    4

    5

    ,利用同角三角函数的关系结合x是第三象限的角,算出f(x)=-cosx=[3/5];

    (1)由f(x)表达式,结合诱导公式与同角三角函数的平方关系化简,得

    y=2

    f

    2

    (x)+f(

    π

    2

    +x)+1

    ═-2(sinx-[1/4])2+[25/8],再由二次函数的单调性结合sinx∈[-1,1],即可算出所求函数的值域.

    根据题意,得

    f(x)=

    sin(x−3π)•cos(2π−x)•sin(−x+

    2)

    cos(−x−π)•cos(

    π

    2−x)

    =

    −sinx•cosx•sin(−x−

    π

    2)

    −cosx•sinx=sin(-x-[π/2])=-sin([π/2]-x)=-cosx

    (1)∵x是第三象限的角,且sin(-x-π)=−

    4

    5,

    ∴sinx=−

    4

    5,可得cosx=-

    1−sin2x=-[3/5],

    由此可得f(x)=-cosx=[3/5];

    (2)函数y=2f2(x)+f(

    π

    2+x)+1=2cos2x-cos([π/2+x)+1

    即y=2cos2x+sinx+1=-2(sinx-

    1

    4])2+[25/8]

    ∵sinx∈[-1,1],

    ∴当sinx=[1/4]时,函数的最大值为[25/8];当sinx=-1时,函数的最小值为0

    因此,函数y=2f2(x)+f(

    π

    2+x)+1的值域为[0,[25/8]]

    点评:

    本题考点: 运用诱导公式化简求值.

    考点点评: 本题题将一个三角函数式化简,求特殊函数值并求另一函数的值域.着重考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系与二次函数的图象与性质等知识,属于中档题.