Question

线性代数的n维向量空间那部分有个问难问大家

Answer 1

n阶方阵Q可逆的充要条件有

1) |Q|≠0

2) R(Q)=n (秩)

3) Q的行向量组或列向量组线性无关

4) 齐次方程组Qx=0只有零解

5) 存在n阶方阵B,使BQ=QB=E (单位阵)

在这里可以用2)的方法来证明,如下:

向量空间V ,维度dimS=n ,V的两组基A,B

基底必然线性无关 ,即 R(A)=R(B)=n

设变换矩阵为Q ,即B=AQ ,且Q为n阶方阵 ,则R(Q)≤n

所以由B=AQ知 :R(B)≤min{R(A),R(Q)}= min{n,R(Q)}=R(Q)

即R(Q)≥R(B)=n

又R(Q)≤n

所以R(Q)=n ,即Q满秩 ,方阵Q满秩即说明|Q|≠0 ,即可逆