首先题目肯定是任意自然数或整数N
我以较为复杂的整数条件来计算.
N五次方-5N³+4N
=N（N^4-5N^2+4)
=N(N^2-4)(N^2-1)
=N(N+2)(N-2)(N+1)(N-1)
观察!发现这是5个连续整数的积
a.当N为-2,-1,0,1,2这几个值时,原式为0,可以被120整除
b.当N大于2时,
即欲证n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)能被120整除（n为正整数）
证明：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何正整数成立.
c.当N小于-2时,证法同上,多个负号而已.
结合a,b,c,原命题成立.