Question

已知函数f（x）=x 3 -ax 2 -3x．

Answer 1

（I）依题意，求导函数，可得f′（x）=3x ²-2ax-3，

∵ x=-

1

3 是f(x)的极值点

∴f′（-

1

3 ）=0，∴

1

3 +

2

3 a-3=0，∴a=4，

∴f（x）=x ³-4x ²-3x，f′（x）=3x ²-8x-3，

令f′（x）=3x ²-8x-3=0，解得x ₁=-

1

3 ，x ₂=3，

∴函数在（1，3）上单调减，（3，4）上单调增

而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．

（Ⅱ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x ³-4x ²-3x=bx恰有3个不等的实数根，

而x=0是方程x ³-4x ²-3x=bx的一个实数根，则方程x ²-4x-3-b=0有两个非零实数根，

则

△=16+4(b+3)＞0

-3-b≠0 ，即b＞-7且b≠-3，

故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．