Question

圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．

Answer 1

解题思路：（1）因为曲线方程为圆的方程，圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心，把圆心坐标代入即可求出k；（2）又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为−1k，然后联立直线与圆的方程，利用OP⊥OQ．∴x1x2+y1y2=0，再借助于韦达定理，即可写出直线的方程．

（1）曲线x²+y²+x-6y+3=0可变为：(x+

1

2)2+(y-3)2=(

5

2)2

得到圆心（-[1/2]，3），半径为[5/2]；

因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，

把（-[1/2]，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2

（2）直线PQ的斜率=[-1/k]=-[1/2]；设PQ方程为y=-

1

2x+b

联立得

x2+y2+x-6y+3=0

y=-

1

2x+b，代入整理得[5/4x2+(4-b)x+b2-6b+3=0

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0

∴

5

4x1x2-

b

2(x1+x2)+b2=0

∴b2- 6b+3-

2

5(b2-4b )+b2=0

∴b=

3

2或b=

5

4]

所以直线PQ的方程为：y=-

1

2x+

3

2或y=-

1

2x+

5

4，经验证符合题意．

点评：

本题考点： 关于点、直线对称的圆的方程．

考点点评： 本题的考点是关于点、直线对称的圆的方程，主要考查考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线，会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，会根据条件写出直线的一般式方程．注意条件的等价转化．