解题思路:先确定事件的所有可能情况,再分别计算
(Ⅰ)方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
表示焦点在x轴上的椭圆,则a2>b2,且a2>b2的所有可能的情况,即可求得结论;
(Ⅱ)方程
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=1
表示离心率为2的双曲线,则
b
2
a
2
=3
,满足条件的有(1,3),(2,6)共有2种,故可得结论.
∵一颗骰子投掷两次,记第一次出现的点数为a2,第二次出现的点数为b2
∴(a2,b2)所有可能的情况是(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2、6);(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3、6);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4、6);(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5、6);(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6、6),共有36种.…(2分)
(Ⅰ)设事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”,方程
x2
a2+
y2
b2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则a2>b2,且a2>b2的所有可能的情况是(2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)(6,1)、(6,2)、
(6,3)、(6,4)、(6,5)共有15种.所以P(A)=
15
36=
5
12;…(7分)
(Ⅱ)设事件B表示“离心率为2的双曲线”,即e2=
a2+b2
a2=1+
b2
a2=4,
所以
b2
a2=3,则满足条件的有(1,3),(2,6)共有2种.
∴P(B)=
2
36=
1
18.…(12分)
点评:
本题考点: 双曲线的简单性质;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;椭圆的标准方程.
考点点评: 本题以圆锥曲线为载体,考查概率知识的运用,解题的关键是确定基本事件的个数.