Question

数学立体几何1.P是△ABC所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH垂直平面ABC,H是垂足（1）求证

Answer 1

（一）可设AH交BC于点D,连结PD.易知,PA⊥BC,PH⊥BC.∴BC⊥平面PAD.===>BC⊥AD.即AD是BC边上的高.同理可证,BH,CH也是高,∴点H是⊿ABC的垂心.（二）设PA=a,PB=b,PC=c.不妨设0＜c≤b≤a.∴0＜c²≤b²≤a²,又AB²=a²+b²,BC²=b²+c²,CA²=c²+a².∴BC²≤CA²≤AB².∴∠ACB最大.由余弦定理可得cos∠ACB=c²/[√(a²+c²)(b²+c²)]＞0,∴∠ACB为锐角.∴⊿ABC为锐角⊿.（三）由体积法可得：PH=(ab)/√(2a²+b²).