Question

三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，侧棱AA 1 ⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AA 1 =4，

Answer 1

（1）连接A ₁C，∵A ₁B ₁∥ AB，∴∠A ₁B ₁C即为AB与B ₁C所成角或其补角，

在Rt△CBB ₁中，CB ₁=

B C 2 +B B 1 2 =

4 2 + 4 2 =4

2 ，在Rt△A ₁AC中， A 1 C=

A 1 A 2 +A C 2 =

4 2 + 3 2 =5，

在Rt△ACB中，AB=

A C 2 +C B 2 =

3 2 + 4 2 =5，

在△A ₁B ₁C中，由余弦定理得，cos∠A ₁B ₁C=

A 1 B 1 2 +C B 1 2 - A 1 C 2

2× A 1 B 1 ×C B 1 =

5 2 +(4

2 ) 2 - 5 2

2×5×4

2 =

2

2

5 ，

故异面直线AB与B ₁C所成角的余弦值为

2

2

5 ．

（2）证明：分别以

CA ，

CB ，

C C 1 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），C ₁（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），B ₁（0，4，4），

C B 1 =（0，4，4），

CA =（3，0，0），

A C 1 =（-3，0，4），

AB =（-3，4，0），

设

n 1 =（x，y，z）为平面ACB ₁的一个法向量，则

n 1 •

C B 1 =0

n 1 •

CA =0 ，即

4y+4z=0

3x=0 ，取

n 1 =（0，1，-1），

设

n 2 =（x，y，z）为平面ABC ₁的一个法向量，则

n 2 •

A C 1 =0

n 2 •

AB =0 ，即

-3x+4z=0

-3x+4y=0 ，取

n 2 =（4，3，3），

因为

n 1 •

n 2 =（0，1，-1）•（4，3，3）=0×4+1×3+（-1）×3=0，

所以

n 1 ⊥

n 2 ，

故面ACB ₁⊥面ABC ₁．