Question

如图，已知正三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 的底面边长是2，D是侧棱CC 1 的中点，直线AD与侧面BB 1 C

Answer 1

（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．

∵△ABC是正三角形，

∴AE⊥BC．

又底面ABC⊥侧面BB ₁C ₁C，且两平面交线为BC，

∴AE⊥侧面BB ₁C ₁C．

连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB ₁C ₁C所成的角．

∴∠ADE=45°．

在Rt△AED中，

，

解得

．

∴此正三棱柱的侧棱长为

．

（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．

∵AE⊥侧面BB ₁C ₁C，

∴EF是AF在平面BCD内的射影．

由三垂线定理，可知AF⊥BD．

∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，

，

∴

．又

，∴在Rt△AEF中，

．

故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，

∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．

∴EG的长为点E到平面ABD的距离．

在Rt△AEF中，

．

∵E为BC中点，

∴点C到平面ABD的距离为

．