Question

如图，四棱锥 P － ABCD 的底面 ABCD 是边长为2的菱形，∠ BAD ＝60°，已知 PB ＝ PD ＝2，

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：连接 AC ，交 BD 于点 O ，连接 PO .

因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥ BD ， BO ＝ DO .

由 PB ＝ PD 知， PO ⊥ BD .

又因为 PO ∩ AC ＝ O ，所以 BD ⊥平面 APC .

又 PC ⊂平面 APC ，因此 BD ⊥ PC .

(2)因为 E 是 PA 的中点，

所以 V _{三棱锥 P － BCE} ＝ V _{三棱锥 C － PEB} ＝

V _{三棱锥 C － PAB} ＝

V _{三棱锥 B － APC} .

由 PB ＝ PD ＝ AB ＝ AD ＝2知，△ ABD ≌△ PBD .

因为∠ BAD ＝60°，

所以 PO ＝ AO ＝

， AC ＝2

， BO ＝1.

又 PA ＝

，所以 PO ²＋ AO ²＝ PA ²，所以 PO ⊥ AC ，

故 S _{△ APC}＝

PO · AC ＝3.

由(1)知， BO ⊥平面 APC ，

因此 V _{三棱锥 P － BCE} ＝

V _{三棱锥 B － APC} ＝

·

· BO · S _{△ APC}＝

.