Question

已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），g(x)＝x−1x．

Answer 1

解题思路：（I）把a=3代入化简后不等式易解；

（Ⅱ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解；

（Ⅲ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况．

（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e^ln3x+[x−1/x]＞0；

等价于

1+3x+

x−1

x＞0

3x＞0，解得x＞

1

3，

故解集为(

1

3，+∞)

（Ⅱ）∵lnax≥

x−1

x对x≥1恒成立，所以lna+lnx≥

x−1

x⇒lna≥1−

1

x−lnx，

令h(x)＝1−

1

x−lnx，h′(x)＝

1

x2−

1

x≤0(x≥1)，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，

故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，

故a的取值范围为：[1，+∞）

（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x₀，lnx0−

x0−1

x0），

∴切线方程：y+1=

x0−1

x02(x−1)，将点T坐标代入得：lnx0−

x0−1

x0+1＝

(x0−1)2

x02

即lnx0+

3

x0−

1

x02−1＝0，①

设g（x）=

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；其他不等式的解法．

考点点评： 本题为函数与导数的综合，涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题，属中档题．