解题思路:这是棱台与棱锥的组合体问题,也是立体几何常见的问题,这类问题的图形往往比较复杂,要认真分析各有关量的位置和大小关系,因为它们的各量之间的关系较密切,所以常引入方程、函数的知识去解.
如图,过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1,设OO1=h,∴S锥侧=
1
2•4b•EO1=2bEO1
S台侧=
1
2(4a+4b)•EE1=2(a+b)•EE1, ∴2bEO1=2(a+b) EE1①
∵OO1E1E是直角梯形,其中OE=
b
2,O1E1=
a
2
∴根据勾股定理得,EE12=h2+(
a
2−
b
2)2,EO12=h2+(
b
2)2②
①式两边平方,把②代入得:b2(h2+
b2
4)=(a+b)2[h2+(
a
2−
b
2)2]
解得h2=
a2(2b2−a2)
4a(a+2b),即h=
1
2
a(2b2−a2)
a+2b
显然,由于a>0,b>0,所以此题当且仅当a<
2b时才有解.
点评:
本题考点: 棱柱的结构特征.
考点点评: 本题考查了在棱台的问题中:如果与棱台的斜高有关,则常应用通过高和斜高的截面,如果和棱台的侧棱有关,则需要应用通过侧棱和高的截面,要熟悉这些截面中直角梯形的各元素,进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算,这是解棱台计算问题的基本技能之一.