(1)∵f/(x)=
a-lnx
x2,令f′(x)=0,∴x=ea------------------------------------------------(2分)
由下表:
x (0,ea) ea(ea,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘∴f(x)的极大值为f(ea)=
1-a+a
ea=e-a
故f(x)的最大值为e-a.-------------------------------------------------------(4分)
(2)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,∴k>
lnx
x在(0,+∞)上恒成立∴k>[
lnx
x]max-------------(6分)
由(1):令a=1,则f(x)=
lnx
x,∴[
lnx
x]max=
1
e∴k>
1
e--------------------------(8分)
(3)由f(x)-e=0得a=1+lnx-ex,令g(x)=1+lnx-ex,x∈[
1
e2,1]------------------------------(10分)
则g′(x)=
1
x-e,由g′(x)=0 得x=
1
e,
当x∈[
1
e2,
1
e):g′(x)>0,∴g(x)单调递增;当x∈(
1
e,1]:g′(x)<0,∴g(x)单调递减.
且g(
1
e2)=1+ln
1
e2-e•
1
e2=-1-
1
e,g(
1
e)=1+ln
1
e-e•
1
e=-1,g(1)=1-e∵g(
1
e2)-g(1)=-2+e-
1
e=
e2-2e-1
e=