Question

（2009•孝感模拟）已知函数f(x)=1-a+lnxx，a∈R

Answer 1

（1）∵f/(x)=

a-lnx

x2，令f′（x）=0，∴x=e^a------------------------------------------------（2分）

由下表：

x （0，e^a） e^a（e^a，+∞）

f′（x） + 0 -

f（x） ↗ 极大值 ↘∴f（x）的极大值为f(ea)=

1-a+a

ea=e-a

故f（x）的最大值为e^-a．-------------------------------------------------------（4分）

（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴k＞

lnx

x在（0，+∞）上恒成立∴k＞[

lnx

x]max-------------（6分）

由（1）：令a=1，则f(x)=

lnx

x，∴[

lnx

x]max=

1

e∴k＞

1

e--------------------------（8分）

（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[

1

e2，1]------------------------------（10分）

则g′(x)=

1

x-e，由g′（x）=0 得x=

1

e，

当x∈[

1

e2，

1

e)：g′(x)＞0，∴g（x）单调递增；当x∈(

1

e，1]：g′(x)＜0，∴g（x）单调递减．

且g(

1

e2)=1+ln

1

e2-e•

1

e2=-1-

1

e，g(

1

e)=1+ln

1

e-e•

1

e=-1，g（1）=1-e∵g(

1

e2)-g(1)=-2+e-

1

e=

e2-2e-1

e=