Question

在三角形ABC中,AB=AC,P是BC上一点.求证：AB^2=AP^2+BP*PC.

Answer 1

以BC为直径作半圆,圆心为BC中点O

因为AB=AC,所以,AO⊥BC

所以:AB^2=AO^2+BO^2

AP^2=AO^2+PO^2

AB^2-AP^2=BO^2-PO^2 (1)

作DP⊥BC交半圆于D,连BD,CD

则PD是直角三角形BDC斜边上的高,所以:PD^2=BP*PC (2)

连DO,则在直角三角形PDO中,有

PD^2=DO^2-PO^2

而DO=BO=半径,所以,PD^2=BO^2-PO^2

代入 (2):

BO^2-PO^2=BP*PC (3)

由(1)(3)得:AB^2-AP^2=BP*PC

即:AB^2=AP^2+BP*PC.