Question

已知A是抛物线y2=2x上的一动点，过A作圆（x-1）2+y2=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交y轴于B、C两点．

Answer 1

解题思路：（1）圆：（x-1）²+y²=1的圆心C（1，0），所以以AC为直径的圆为：x²+y²-9x-4y+8=0，结合题意证明点E、F在圆x²+y²-9x-4y+8=0上，所以E、F两点是两个圆的交点，两个圆的方程相减即可得到直线EF的方程．

（2）设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，写出直线AB的方程为（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0，由直线AB与圆相切可得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0，同理：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，故y_A，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的两个不同的实根，因为

S＝

1

2

|

y

A

−

y

B

|

x

O

，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．

（1）由题意可得：圆：（x-1）²+y²=1的圆心C（1，0），

所以以线段AC为直径的圆的方程为：x²+y²-9x-4y+8=0．

因为AE⊥CE，AF⊥CF，

所以点E、F在圆x²+y²-9x-4y+8=0上，

所以E、F两点是两个圆的交点．

所以所求圆的方程与圆：（x-1）²+y²=1相减，消去二次项，就得公共弦EF所在的直线方程，

所以直线EF的方程为7x+4y-8=0．

（2）设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，

所以直线AB的方程为y＝

yO−yB

xOx+yB，化简得（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0

直线AB与圆相切，故

|yO−yB+xOyB|

(yO−yB)2+x02＝1，两边平方化简得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0

同理可得：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，

故y_C，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的两个不同的实根，yC+yB＝

2yO

2−xO，yC•yB＝

xO

2−xO

因为S＝

1

2|yC−yB|xO

所以S＝

1

2

(yC−yB)2xO＝

xO2

xO−2=(xO−2)+

4

xO−2+4≥8，

所以当

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及圆与圆的位置关系，而解决直线与圆锥曲线的位置关系有关的问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理来找突破口．