Question

已知sinθ=asinΦ;tanθ=btanΦ;θ为锐角,求证cosθ=((a^2-1)/(b^2-1))^(1/2)

Answer 1

sinθ=asinΦ 平方

sin^2θ=a^2sin^2Φ

sin^2θ=a^2(1-cos^2Φ)

sin^2θ=a^2-a^2cos^2Φ

1-cos^2θ=a^2-a^2cos^2Φ

cos^2θ=1-a^2+a^2cos^2Φ.1

tanθ=sinθ/cosθ=btanΦ=bsinΦ/cosΦ

sinθ=asinΦ

sinθ/cosθ=asinΦ/cosθ

tanθ=asinΦ/cosθ

asinΦ/cosθ=bsinΦ/cosΦ

cosΦ=bcosθ/a.2

将2式代入1式得

cos^2θ=1-a^2+a^2(b^2cos^2θ/a^2)

cos^2θ=1-a^2+b^2cos^2θ

(1-b^2)cos^2θ=1-a^2

cos^2θ=(1-a^2)/(1-b^2)=(a^2-1)/(b^2-1)

因为θ为锐角

所以cosθ=√[(a^2-1)/(b^2-1)]