Question

已知函数f（x）满足f(x)＝f′(1)ex−1−f(0)x+12x2．

Answer 1

解题思路：（I）利用导数的运算法则可得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）．

令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．

（II）设g（x）=f′（x）=e^x-1+x，则g′（x）=e^x+1＞0，可得f′（x）在R上单调递增．进而得到f（x）的单调性．

（I）f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，

令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．

∴f(x)＝f′(1)ex−1−x+

1

2x2．

令x=0，得f′（1）=e，

∴f(x)＝ex−x+

1

2x2．

（II）设g（x）=f′（x）=e^x-1+x，

则g′（x）=e^x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．

而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．

因此f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数得到单调性是解题的关键．