Question

（2012•扬州模拟）设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式f(x1)−

Answer 1

解题思路：首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时，才满足f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增的结论．

由题意知f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增．

（1）当a≤2时，

若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=[a/2]，

此时[a/2]＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；

（2）当a＞2时，

①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x²-ax，其对称轴为x=[a/2]，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；

②若x∈[2，a），则f（x）=x（a-x）=-x²+ax，其对称轴为x=[a/2]，所以f（x）在[[a/2]，a）上是递减的，因此f（x）

在[2，a）上必有递减区间．

综上可知a≤2．

故答案为（-∞，2]．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查了函数单调性的定义，同时考查了分类讨论的思想方法．