(2008•聊城)如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB,CD的延长线分别交于E,F.

1个回答

  • 解题思路:(1)由矩形的性质:OB=OD,AE∥CF证得△BOE≌△DOF;

    (2)若四边形EBFD是菱形,则对角线互相垂直,因而可添加条件:EF⊥AC,

    当EF⊥AC时,∠EOA=∠FOC=90°,

    ∵AE∥FC,

    ∴∠EAO=∠FCO,矩形对角线的交点为O,

    ∴OA=OC,

    ∴△AOE≌△COF,

    ∴OE=OF,根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

    ∴四边形EBFD是菱形.

    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

    ∴OB=OD(矩形的对角线互相平分),

    AE∥CF(矩形的对边平行).

    ∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF.

    ∴△BOE≌△DOF(AAS).

    (2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形.

    证明:∵四边形ABCD是矩形,

    ∴OA=OC(矩形的对角线互相平分).

    又∵由(1)△BOE≌△DOF得,OE=OF,

    ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

    又∵EF⊥AC,

    ∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).

    点评:

    本题考点: 菱形的判定;全等三角形的判定;矩形的性质.

    考点点评: 本题利用了:1、矩形的性质,2、全等三角形的判定和性质,3、菱形的判定.