Question

已知数列{an}，其中a2=6，an+1+an−1an+1−an+1=n．

Answer 1

解题思路：（1）由题意得，在

a

n+1

+

a

n

−1

a

n+1

−

a

n

+1

=n中，分别令n=1，2，3可求结果；

（2）由数列前四项可猜想a_n=n（2n-1），运用数学归纳法可证明．

（1）由题意得，a₂=6，

a2+a1−1

a2−a1+1=1，

a3+a2−1

a3−a2+1=2，

a4+a3−1

a4−a3+1=3，

得a₁=1，a₃=15，a₄=28．

（2）猜想a_n=n（2n-1）下面用数学归纳法证明：

假设n=k时，有a_k=k（2k-1）成立，

则当n=k+1时，有

ak+1+ak−1

ak+1−ak+1=k，

∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-k-1，a_k+1=（k+1）[2（k+1）-1]，即当n=k+1时，结论成立，

∴对n∈N^*，a_n=n（2n-1）成立．

点评：

本题考点： 数列递推式；数学归纳法．

考点点评： 该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式，考查数学归纳法，考查学生的运算求解能力．