Question

已知抛物线y^2=4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点,三边上的高都过焦点

Answer 1

y^2=4x,焦点F(1,0)

y^2=4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点,三边上的高都过焦点,则

AB⊥X轴,设yA>0,yB0,则

xA=xB=a^2/4

A(a^2/4,a),B(a^2/4,-a)

k(AF)=a/(a^2/4-1)=4a/(a^2-4)

k(OB)=-a/(a^2/4)=-4/a

AF⊥OB

k(AF)*k(OB)=-1

[4a/(a^2-4)]*(-4/a)=-1

a^2=20,a^2/4=5

a=2√5,

A(5,2√5),B(5,-2√5),O(0,0)

△AOB的外接圆园心在X轴上,设园心C（m,0）,则

(xA-m)^2+(yA)^2=m^2

(5-m)^2+(2√5)^2=m^2

m=4.5

△OAB的外接圆的方程:

(x-4.5)^2+y^2=(4.5)^2