(一)
由A和B符合椭圆方程,代入形成联立方程,
解得 a^2=27 b^2=27/2 (a=3√3 b=3√6 /2)
椭圆方程为 x^2/27+2y^2=1
(二)
设BC中点为E,坐标为(u,v)
EO斜率为OA斜率=1/2 则v=u/2
且CB的X轴分量和Y轴分量分别为
x+3=2(u+3) 所以 x=2u+3
y+3=2(v+3)=u+6 所以 y=u+3
且 x^2/27+2y^2/27=1 (符合椭圆方程)
将x和y用u表达式代入椭圆方程 变成只有u的方程式
解得u=0和 - 4 ,其中u=0使得E和O重合,使得C在第一象限,所以不符合提议
u= - 4,则x= - 5 y=-1
即C坐标为(-5,-1)
以上得值后有准确的图形
(三)P坐标为(x,y)符合椭圆方程可变换成x^2+2y^2=27(下面有用)
N的坐标为(xn,yn) 有yn=xn/2 且ON^2=yn^2+xn^2=5xn^2/4
M的坐标为(xm,ym) 有ym=xm/2 且OM^2=ym^2+xm^2=5xm^2/4
所以 OM*ON=5xnxm/4
有CP斜率=(y+1)/(x+5)= (yn+1)/(xn+5)=(xn/2+1)/(xn+5)
视x,y为已知,解得xn=2(x-5y)/(2y-x-3)
有BP斜率=(y+3)/(x+3)=(ym+3)/(xm+3)=(xm/2+3)/(xm+3)
同理解得xm=6(x-y)/(2y-x+3)
则xnxm=12 (x-5y)(x-y) / (2y-x-3)(2y-x+3)
=12(x^2+5y^2-6xy) / [(2y-x)^2-9]
=12(x^2+5y^2-6xy) / (4y^2+x^2-4xy-9)
=12(3y^2-6xy+27) / [2y^2-4xy+18] (其中x^2+2y^2=27)
=12*3/2 (同时约掉y^2-2xy+9)
=18
则OM*ON=5xnxm/4=45/2