在正项等比数列{an}中,a1=4,a3=64.

4个回答

  • 解题思路:(1)由a1=4,a3=64可求公比,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式;

    (2)由于bn=log4an=n,所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列,故可求和;

    (3)先求得Sn取得最小值Smin=1,要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立,即-λ2+4λ-m≤1,分离参数得m≥-λ2+4λ-1恒成立,故可求参数的范围.

    (1)∵q2=

    a3

    a1=16,解得q=4或q=-4(舍去)∴q=4…(2分)∴an=a1qn-1=4×4n-1=4n…(3分)(q=-4没有舍去的得2分)

    (2)∵bn=log4an=n,…(5分)∴数列{bn}是首项b1=1,公差d=1的等差数列∴Sn=

    n(n+1)

    2…(7分)

    (3)由(2)知,Sn=

    n2+n

    2,

    当n=1时,Sn取得最小值Smin=1…(8分)

    要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立,即-λ2+4λ-m≤1

    即对任意实数λ,m≥-λ2+4λ-1恒成立,∵-λ2+4λ-1=-(λ-2)2+3≤3,

    所以m≥3,

    故m得取值范围是[3,+∞).…(10分)

    点评:

    本题考点: 数列与不等式的综合;等差数列的前n项和;等比数列的通项公式.

    考点点评: 本题主要考查等比数列的通项,等差数列的前n和,同时考查等价转化的数学思想,属于中档题