Question

已知数列{a n }是等差数列，且a 1 =2， 1 2 a n+1 - 1 2 a n =2 (co s 2 π 6

Answer 1

（1）∵a ₁=2，

1

2 a n+1 -

1

2 a n =2 (co s 2

π

6 -si n 2

π

6 ) =2cos

1

3 π =1

∴a _n+1-a _n=2

∴数列{a _n}是以2为首项，以2为公差的等差 数列

∴a _n=2+2（n-1）=2n

（2）∵ b n = a n • 3 n +n =2n•3 ⁿ+n

∴T _n=2（1•3+2•3 ²+…+n•3 ⁿ）+（1+2+…+n）

∴3T _n=2（ 1•3 ²+2•3 ³+…+n•3 ⁿ⁺¹）+3（1+2+…+n）

两式相减可得，-2T _n=2（3+3 ²+3 ³+…+3 ⁿ-n•3 ⁿ⁺¹） -2•

n(1+n)

2

= 2•

3(1- 3 n )

1-3 -n(n+1)

=3 ⁿ⁺¹-3-n（n+1）

∴T _n=

n(n+1)+3- 3 n+1

2