A×comp(A)=|A|×E
三阶单位矩阵E3有|E3|^2=|comp(E3)|
为何|E3|^3=|E3|×|comp(E3)|=|E3×comp(E3)|=||E3|×E3|=|E3|?
确实相等.为何如此,因为忽略了量纲.
A×comp(A)=|A|×E
这里A的量纲为M,comp(A)的量纲=代数余子式的量纲,|A|的量纲=阶数,E的量纲为M^0.如果A为n阶方阵,则该式的量纲：M×M^(n-1)=M^n×M^0
∵(E3)^2=comp(E3)的量纲：(M)^2=M^2
∴|E3|^2=|comp(E3)|的量纲：(M^3)^2=(M^2)^3
∵E3×comp(E3)=|E3|×E的量纲：M×M^2=M^3×M^0
∴|E3|×|comp(E3)|=||E3|×E|的量纲：M^3×(M^2)^3=(M^3)^3
注意：这里的E也应该是3阶的单位矩阵,但量纲是E3量纲的0次幂.这里写成E而不写成E3,是从来源上将他们区别开了.来源不同,量纲往往不同.
单位阵,如果都写成E,不仅忽略了阶数,也忽略了量纲.如果没有量纲,即量纲是任何量纲的0次幂,那么里面的元都是纯数,只要阶数相同,任何单位阵的任何次幂都等于同一个单位阵；如果赋予量纲,那么量纲不同的量纲同阶单位阵不相等,你说,一米什么时候能等于一秒呢?
|E3|^3=|E3|×|comp(E3)|=|E3×comp(E3)|=||E3|×E3|=|E3|
最后一个E3,已经与第一个E3不同了,因为来源于将|E3|乘进一个没有量纲的E,量纲已变成了M^3.因而需加以区别,写成
|E3|^3=|E3|×|comp(E3)|=|E3×comp(E3)|=||E3|×E|=|E3a|
因为E3a主对角线上的元都=|E3|,所以|E3a|展开出来还是|E3|^3,量纲还是M^9.