Question

关于数学的疑问数列an,an>0,前n项和sn=1/2(an+1/an）.猜想an并用数学归纳法证明.要详细的步骤,谢谢

Answer 1

S1=a1=1/2(a1+1/a1）解得a1=1

S2=a1+a2=1+a2=1/2(a2+1/a2） 解得a2=√2-1

S3=a1+a2+a3=√2+a3+1/2(a3+1/a3） 解得a3=√3-√2

猜想an=√n-√（n-1）

证明：（1）当n=1时,S1=1/2(a1+1/a1）=1 =a1 猜想成立

（2）假设当n=k时,猜想成立,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=1/2(ak+1+ 1/ak+1)-1/2(ak+ 1/ak)将ak=√k-√k-1）代入 解一元二次方程得到ak+1=√（k+1 ）- √k 猜想成立

综合（1）,（2）对一切n∈Z+ ,猜想成立