Question

（2014•马鞍山三模）设M为抛物线C：x2=4py（p＞0）准线上的任意一点，过点M作曲线C的两条切线，设切点为A、B

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x²=2py，得y=

1

4p

x

2

，求导得两条切线方程为y-y₁=

1

2p

x

1

(x−

x

1

)

，

y−y

2

＝

1

2p

x

2

(x−

x

2

)

，从而求出x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根，由此能求出直线恒过定点（0，p）．

（Ⅱ）设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x

1

+

x

2

＝2m，

x

1

x

2

＝−4

p

2

，由此能证明直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．

（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由x²=2py，得y=[1/4px2，求导得y′＝

1

2px．

∴两条切线方程为y-y₁=

1

2px1(x−x1)，①

y−y2＝

1

2px2(x−x2)，②…2分

对于方程①，代入点M（m，-p）得，-p-y₁=

1

2px1(m−x1)，

又y1＝

1

4px12，

∴-p-

1

4px12=

1

2px1(m−x1)，

整理得：x12−2mx1−4p2＝0，

同理对方程②有x22−2mx2−4p2＝0，

即x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根．

∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，③…4分

设直线AB的斜率为k，k＝

y2−y1

x2−x1]=

x22−x12

4p(x2−x1)=

1

4p(x1+x2)，

∴直线AB的方程为y-

x12

4p=

1

4p(x1+x2)(x−x1

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线是否恒过定点的判断，考查三条直线的斜率倒数成等差数列的证明，考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等，是难题．