Question

已知椭圆C 1：x2a2+y2b2＝λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和双曲线C 2：x2m2−y2n2＝

Answer 1

解题思路：通过椭圆与双曲线的方程求出它们的焦点，离心率，渐近线即可得到结论．

对于任意的正实数λ₁，椭圆C 1：

x2

a2+

y2

b2＝λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）

可知，c²=λ1a2−λ1b2，离心率的平方e²=

c2

λ1a2=

a2−b2

a2，

故对于任意的正实数λ₁，曲线C₁不都有相同的焦点；曲线C₁都有相同的离心率．

对于任意的非零实数λ₂，双曲线C 2：

x2

m2−

y2

n2＝λ2(λ2≠0)，

可知曲线C₂都有相同的渐近线[x/m＝±

y

n]；

但是当λ₂＞0时，离心率的平方e²=

c2

λ2m2=

m2+n2

m2，

当λ₂＜0时，离心率的平方e²=

c2

λ2n2=

m2+n2

n2，

∴对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的渐近线；曲线C₂不都有相同的离心率．

故选C．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．属于基础题．