Question

（2012•红桥区二模）已知点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，点A是x轴上一动点（不与原点重合），连接PA，过点P作

Answer 1

（Ⅰ）∵PA⊥x轴，PB⊥PA，OB⊥OA，

∴PB∥x轴，PA∥y轴，

∴点P的坐标为（PB，PA），

∵点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，

∴PA=kPB．

故答案为：PA=kPB．

（Ⅱ）如图2，过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，

则∠PDB=∠PCA=90°，

设P（x₀，kx₀），

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD．

∴Rt△APC∽Rt△BPD，

∴[PA/PB＝

PC

PD]．

∴[PA/PB＝

k|x0|

|x0|]=k，

∴PA=kPB．

（Ⅲ）当k=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°．

理由：由（Ⅱ）得：PA=kPB，

则当k=1时，PA=PB．

∵Rt△APC∽Rt△BPD，

∴Rt△APC≌Rt△BPD，

∴PC=PD，

即点P到x轴、y轴的距离相等，

∴直线y=kx（k=1）平分一、三象限的夹角．

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如图3）．