分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形,因为∠AOC=60°,三角形AOC是个等边三角形,因此∠OAC=60°；
（2）如果PC与圆A相切,那么AC⊥PC,在直角三角形APC中,有∠PCA的度数,有A点的坐标也就有了AC的长,可根据余弦函数求出PA的长,然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本题分两种情况：
①以O为顶点,OC,OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线,交圆于Q,此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中,根据∠COA的度数,和OC即半径的长求出PO．
②以Q为顶点,QC,QD为腰,那么可做OC的垂直平分线交圆于Q,则这条线必过圆心,如果设垂直平分线交OC于D的话,可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式,得出这条直线与x轴的交点,也就求出了PO的值．（1）∵∠AOC=60°,AO=AC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠OAC=60°．
（2）∵CP与⊙A相切,
∴∠ACP=90°,
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4,0）,
∴AC=AO=4,
∴PA=2AC=8,
∴PO=PA-OA=8-4=4．
（3）①过点C作CP1⊥OB,垂足为P1,延长CP1交⊙A于Q1；
∵OA是半径,
∴OC=OQ1,
∴OC=OQ1,
∴△OCQ1是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形,
∴P1O=12OA=2；
②过A作AD⊥OC,垂足为D,延长DA交⊙A于Q2,CQ2与x轴交于P2；
∵A是圆心,
∴DQ2是OC的垂直平分线,
∴CQ2=OQ2,
∴△OCQ2是等腰三角形；
过点Q2作Q2E⊥x轴于E,
在Rt△AQ2E中,
∵∠Q2AE=∠OAD=12∠OAC=30°,
∴Q2E=12AQ2=2,AE=23,
∴点Q2的坐标（4+23,-2）；
在Rt△COP1中,
∵P1O=2,∠AOC=60°,
∴CP1=23,
∴C点坐标（2,23）；
设直线CQ2的关系式为y=kx+b,则
-2=(4+23)k+b23=2k+b,
解得k=-1b=2+23,
∴y=-x+2+23；
当y=0时,x=2+23,
∴P2O=2+23． 求满意