如图所示,O是锐角三角形ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,P是△ABC内不同于O的另一点;△A1BO

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  • 解题思路:由于△A′BO1,△A′BP1分别由△AOB,△APB旋转而得,旋转角都为60°,得到BO1=BO,BP1=BP,∠OBO1=∠PBP1=60°,∠A′O1B=∠AOB,O1A′=OA,P1A′=PA,则△BOO1和△BP1P都是等边三角形,得到∠BOO1=∠BO1O=60°,OO1=OB,而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,即可得到四个结论都正确.

    连PP1,如图,

    ∵△A′BO1,△A′BP1分别由△AOB,△APB旋转而得,旋转角都为60°,

    ∴BO1=BO,BP1=BP,∠OBO1=∠PBP′=60°,∠A′O1B=∠AOB,O1A′=OA,P1A′=PA,

    ∴△BOO1和△BPP1都是等边三角形,

    ∴∠BOO1=∠BO1O=60°,O1O=OB,

    而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,

    ∴∠A′O1O=∠O1OC=180°,

    即△O1BO为等边三角形,且A′,O1,O,C在一条直线上,所以①正确;

    ∴A′O1+O1O=AO+BO,所以②正确;

    A′P1+P1P=PA+PB,所以③正确;

    又∵CP+PP1+P1A′>CA′=CO+OO1+O1A′,

    ∴PA+PB+PC>AO+BO+CO,所以④正确.

    故答案为:①②③④.

    点评:

    本题考点: 旋转的性质.

    考点点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短.