解题思路:由于△A′BO1,△A′BP1分别由△AOB,△APB旋转而得,旋转角都为60°,得到BO1=BO,BP1=BP,∠OBO1=∠PBP1=60°,∠A′O1B=∠AOB,O1A′=OA,P1A′=PA,则△BOO1和△BP1P都是等边三角形,得到∠BOO1=∠BO1O=60°,OO1=OB,而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,即可得到四个结论都正确.
连PP1,如图,
∵△A′BO1,△A′BP1分别由△AOB,△APB旋转而得,旋转角都为60°,
∴BO1=BO,BP1=BP,∠OBO1=∠PBP′=60°,∠A′O1B=∠AOB,O1A′=OA,P1A′=PA,
∴△BOO1和△BPP1都是等边三角形,
∴∠BOO1=∠BO1O=60°,O1O=OB,
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,
∴∠A′O1O=∠O1OC=180°,
即△O1BO为等边三角形,且A′,O1,O,C在一条直线上,所以①正确;
∴A′O1+O1O=AO+BO,所以②正确;
A′P1+P1P=PA+PB,所以③正确;
又∵CP+PP1+P1A′>CA′=CO+OO1+O1A′,
∴PA+PB+PC>AO+BO+CO,所以④正确.
故答案为:①②③④.
点评:
本题考点: 旋转的性质.
考点点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短.