解题思路：首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，然后由DF⊥AC，AD⊥BC，推出△CDE为等腰三角形，从而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假设推出
AE
=
DE
不正确；
连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC（正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（正确）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正确）；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正确）；
当∠EAD=∠EDA时，
AE=
DE，此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则
AE≠
DE，
∴
AE=
DE（不正确）；
综上，正确结论的序号是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
点评：
本题考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．
考点点评： 此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．