Question

已知圆M:x^2+(y-4)^2=4,直线l的方程为x-2y=0,点P是直线l上一动点,过点P作圆的切线PA,PB,切点

Answer 1

证明：

显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),

因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点,圆直径为MP

过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q

设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),

直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,

y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)

即点P在直线运动时,经过A、P、M三点的圆

必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)