如图,圆O的半径为1,等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为(根号2,0),角CAB=90度,AC=AB,顶点A在圆O上运

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  • 分析:(1)中有两种情况,即A点坐标为(1,0)或(-1,0),根据AB=AC,求出C点坐标.

    (2)根据题意过点O作OM⊥BC于点M,求出OM的长,与半径比较得出位置关系.

    (3)过点A作AE⊥OB于点E,在Rt△OAE中求AE的长,然后再在Rt△BAE中求出AB的长,进而求出面积的表达式,根据定义域确定最大最小值.

    (4)相切时有两种情况,在第一象限或者第四象限,连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E,在Rt△OAE中求出OE,然后就能求出A点坐标,AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出.

    (1)当点A的坐标为(1,0)时,AB=AC= 2-1,点C的坐标为(1,2-1);

    当点A的坐标为(-1,0)时,AB=AC= 2+1,点C的坐标为(-1,2+1);

    (2)直线BC与⊙O相切

    过点O作OM⊥BC于点M,

    ∴∠OBM=∠BOM=45°,

    ∴OM=OB•sin45°=1

    ∴直线BC与⊙O相切;

    (3)过点A作AE⊥OB于点E

    在Rt△OAE中,AE2=OA2-OE2=1-x2,

    在Rt△BAE中,AB2=AE2+BE2=(1-x2)+( 2-x)2=3-2 2x

    ∴S= 12AB•AC= 12AB2= 12(3-2 2x)= 32-2x

    其中-1≤x≤1,

    当x=-1时,S的最大值为 32+2,

    当x=1时,S的最小值为 32-2.

    (4)①当点A位于第一象限时(如右图):

    连接OA,并过点A作AE⊥OB于点E

    ∵直线AB与⊙O相切,∴∠OAB=90°,

    又∵∠CAB=90°,

    ∴∠CAB+∠OAB=180°,

    ∴点O、A、C在同一条直线上

    ∴∠AOB=∠C=45°,

    在Rt△OAE中,OE=AE= 22,

    点A的坐标为( 22,22)

    过A、B两点的直线为y=-x+ 2.

    ②当点A位于第四象限时(如右图):

    点A的坐标为( 22,- 22)

    ∵B的坐标为( 2,0)

    ∴过A、B两点的直线为y=x- 2.

    本题是一次函数与圆、三角形结合的题,用到了圆的性质,圆与直线的关系以及三角形相似等知识,知识面比较广,要求综合能力比较高.