Question

设ab≠0，且函数f1（x）=x2+2ax+4b与f2（x）=x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）=-x2

Answer 1

解题思路：本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f₁（x）与f₂（x）有相同的最小值u；f₃（x）与f₄（x）有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．

∵f₁（x）=x²+2ax+4b=（x+a）²+4b-a²≥4b-a²，

f₂（x）=x²+4ax+2b=（x+2a）²+2b-4a²≥2b-4a²，

已知4b-a²=u=2b-4a²，得-2b=3a²①

∵ab≠0，

∴b＜0，

又∵f₃（x）=-（x-b）²+4a+b²≤4a+b²，

f₄（x）=-（x-2b）²+2a+4b²≤2a+4b²；

已知4a+b²=v=2a+4b²，得2a=3b²，②

∵ab≠0，

∴a＞0，

∴3a-3b+2＞0，

∴②-①得，2（a+b）=3（b²-a²），

解得a+b=0或b−a＝

2

3（舍去），

当a+b=0时，2（u+v）=（6b-5a²）+（6a+5b²）=（a+b）[6+5（b-a）]=0，

∴u+v=0，

故选C．

点评：

本题考点： 二次函数的最值．

考点点评： 本题考查了二次函数的最值，难度较大，做题时关键是将函数的标准形式化为顶点形式．