当x>0时,求证sinx>x-x^3/6.

2个回答

  • 证明:

    (1)先证明 x>0时,x>sinx(需要用到此结论)

    构造函数F(x)=x-sinx

    则 F(0)=0

    F'(x)=1-cosx≥0恒成立

    ∴ F(x)在x>0时是增函数

    ∴ F(x)>F(0)=0

    即 x>sinx

    (2)

    构造函数

    f(x)=sinx-x+x³/6

    则f(0)=0

    f'(x)=cosx-1+x²/2=x²/2-2sin²(x/2)=2[(x/2)²-sin²(x/2)]=2[x/2-sin(x/2)]*[x/2+sin(x/2)]

    由(1)则,f'(x)>0恒成立

    ∴ f(x)在x>0时是增函数

    ∴ f(x)>f(0)=0

    即 sinx>x-x³/6