Question

（2014•福建模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，x＞-1，

则f′（x）=[1/1+x]-k在（-1，+∞）上单调递减，

∵f（0）=0；且f（x）的最大值为0；

则f（x）在（-1，0）上存在增区间，在（0，+∞）存在减区间；

则f′（0）=1-k=0；

则k=1．

（Ⅱ）g（x）=

1+x

ef(x)+1=

1+x

elnx−x+1=e^x+1不是等比源函数，证明如下：

假设g（x）是等比源函数，则存在m₀，m，n∈N^*（不妨设m＜n），使得

em0+1，1+e^m₀+m，1+e^m₀+n成等比数列；

即（em0+1）×（1+e^（m₀+n））=（1+e^（m₀+m））²；

化简得，1+e^（m₀+n）+eⁿ=e^{（m₀+2m）}+2e^m；

即1=e^{（m₀+2m）}+2e^m-e^（m₀+n）-eⁿ；

上式显然不成立，故假设不成立；

则g（x）=e^x+1不是等比源函数．

（Ⅲ）要使sinx+a_m

3−2cosx−2sinx=1（0＜x＜2π）有解，

则必须∃m∈N^*，使a_m=

1−sinx

3−2cosx−2sinx，

设g（x）=

1−sinx

3−2cosx−2sinx（0＜x＜2π），

注意到g（x）≥0且g（x）=

1−sinx

3−2cosx−2sinx=

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