Question

已知m、n均为正整数,且mn│m²+n²+m.证明m是一个完全平方数.

Answer 1

mn│(m^2+n^2+m),即m|n^2

n|(m^2+m)--> n|m(m+1),因为m,m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn

当m+1=kn时,m=kn-1,因为kn-1,n 互质,所以不可能m|n^2,所以m+1不能为kn.

当m=kn时,由m|n^2得：k|n,即n=kr,因此m=k^2r

mn=k^3r^2

m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)

所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1),因此r|1,所以r=1.

故有：m=k^2为完全平方数.