Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）2+y2=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由题设条件可得x₁x₂+y₁y₂=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，

故有x1+x2＝

2+2k

1+k2，x1x2＝

1

1+k2，

又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=

k2

1+k2−

2k+2k2

1+k2+1=[1−2k

1+k2

∴

1−2k

1+k2+

1

1+k2=0，得k=1；

（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）

则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1

得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0

则X₁•X₂=

1

k2+1，X₁+X₂=

2(k+1)

k2+1

则

/MP]=（X₁，kX₁-1-b），

MQ=（X₂，kX₂-1-b）

由MP⊥MQ则

X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0

即

2k2+2k

k2+1＝(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(−

1

2，1)，∴

1

2＜b+1＜2，

∴