已知函数y=4x2-4ax+(a2-2a+2)在区间[0,2]上的最小值是3,求实数a的值.

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  • 解题思路:求出函数的对称轴,分别讨论对称轴与区间[0,2]的关系,求出函数的最小值,利用函数在区间[0,2]上的最小值是3,求a即可.

    函数=4x2-4ax+(a2-2a+2)的对称轴为x=−

    −4a

    2×4=

    1

    2a.

    ①当[a/2∈[0,2],即0≤a≤4,此时函数的最小值为抛物线的顶点纵坐标,

    所以函数的最小值为y=-2a+2,由-2a+2=3,解得a=−

    1

    2],此时不成立.

    ②当[a/2<0,即a<0时,此时函数在[0,2]上单调递增,

    所以最小值y=f(0)=a2-2a+2,

    由a2-2a+2=3,即a2-2a-1=0,解得a=1-

    2].

    ③当[a/2>2,即a>4时,此时函数在[0,2]上单调递减,

    所以最小值y=f(2)=a2-10a+18,

    由a2-10a+18=3,即a2-10a+15=0,解得a=5+

    10].

    综上:a=1-

    2或a=5+

    10.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,通过讨论对称轴与区间之间的关系,求出函数的最小值是解决本题的关键.