证明不存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形

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  • 设:存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形,腰为x,底为2y,

    则底边上的高为根号(x²-y²),

    所以2x+2y=2005(可以确定2y是奇数),

    y*根号(x²-y²)为正整数,

    这样,(x²-y²)必须是完全平方数,

    因为x=(2005-2y)/2,

    所以[(2005-2y)/2]²-y²是完全平方数,、

    而[(2005-2y)/2]²-y²=2005²-8020y=2005²-4010*2y=2005(2005-2*2y).

    我们发现2005中有因数5,而(2005-2*2y)中没有因数5,

    说明该数含有因数5不能完全平方,

    这与假设矛盾,

    所以假设错误,也就是不存在边长和面积都是正整数,且周长等于2005的等腰三角形