已知函数f(x)的导函数为f′(x),f′(x)没有零点且图象是连续不断的曲线,又f(x-2012)的图象关于点(201

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  • 解题思路:由f(x-2012)的图象关于点(2012,0)对称,得到f(x)的图象关于(0,0)对称,即函数f(x)为奇函数,由f′(x)没有零点且图象是连续不断的曲线,得到函数是单调函数,由(a+b)(b+c)>0,(a+b)(c+a)>0,得到a+b>0,b+c>0,c+a>0或a+b<0,b+c<0,c+a>0,将每种情况的三个不等式变形,利用函数的单调性及奇函数得到不等式,从而得到f(a)+f(b)+f(c)的符号.

    ∵f(x-2012)的图象关于点(2012,0)对称.

    ∴f(x)的图象关于(0,0)对称,即函数f(x)为奇函数.

    又f′(x)没有零点且图象是连续不断的曲线,

    ∴函数f(x)是单调函数,且恒增或恒减.

    由(a+b)(b+c)>0,(a+b)(c+a)>0,得

    a+b>0,b+c>0,c+a>0或a+b<0,b+c<0,c+a>0.

    若a+b>0,b+c>0,c+a>0,且f(x)为增函数,

    ∵a+b>0,

    ∴a>-b,

    ∴f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0,

    同理有f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.

    ∴f(a)+f(b)+f(c)>0;

    若a+b>0,b+c>0,c+a>0,且f(x)为减函数,

    ∵a+b>0,

    ∴a>-b,

    ∴f(a)<f(-b),即f(a)+f(b)<0,

    同理有f(b)+f(c)<0,f(c)+f(a)<0.

    ∴f(a)+f(b)+f(c)<0.

    对于a+b<0,b+c<0,c+a>0同样分析.

    ∴f(a)+f(b)+f(c)的值正负都有可能.

    故选:D.

    点评:

    本题考点: 导数的运算.

    考点点评: 利用导函数判断函数的单调性根据是导函数大于0函数单调递增;导函数小于0,函数单调递减;判断函数的奇偶性,应该先求出函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称.是中档题.