Question

F(x)=a^2x+2a^x-1(a>0)在【-1,1】上的最大值是14,求a的值

Answer 1

令a^x = t ( t＞0 )

则f(t) = t^2 + 2t - 1 = (t + 1)^2 - 2

画出图像 当t＞0时 f(t)∈（-1,+∞）单调增

因为a＞0 分情况讨论

① 当0＜a＜1时

t = a^x为单调减函数

所以当x = -1时 t有最大值 即f(t)有最大值 等于14

带入得 f(t) = t^2 + 2t - 1 = 14

解得 t = 3 或 t = -5（舍）

所以 a = 1/3

②当a＞1时

t = a^x为单调增函数

所以当x = 1时 t有最大值 即f(t)有最大值 等于14

代入得 t = 3 或 t = -5（舍）

所以 a = 3