设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列三个条件:

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  • 解题思路:首先由(1)、(2)作为条件,可以证出(3)成立.然后类似地可以由(2)、(3)作为条件,证出(1)成立;由(1)、(3)作为条件,证出(2)成立,可得真命题的个数为3个.

    ①先证明由(1)和(2)作为条件,可以得到(3)成立

    ∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

    ∴f(1-x)=f(1+x)

    又∵y=f(x)是偶函数,可得f(1-x)=f(x-1)

    ∴f(x-1)=f(1+x),即f(x-1)=f[(x-1)+2],函数y=f(x)是T=2的周期函数;

    ②再证明由(2)和(3)作为条件,可以得到(1)成立

    ∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

    ∴f(1-x)=f(1+x)

    又∵T=2为y=f(x)的一个周期,可得f(1+x)=f[(x+1)-2],

    ∴f(1-x)=f(x-1),可得f(1-x)=f[-(1-x)],

    以x代替1-x,得f(x)=f(-x),故函数y=f(x)是偶函数;

    ③最后证明由(1)和(3)作为条件,可以得到(1)成立

    ∵T=2为y=f(x)的一个周期,

    ∴f(1+x)=f[(x+1)-2]=f(x-1),

    又∵y=f(x)是偶函数,可得f(x-1)=f(1-x),

    ∴函数y=f(x)满足f(1-x)=f(1+x),可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

    综上所述,将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,可以构成的三个真命题.

    故答案为:3

    点评:

    本题考点: 命题的真假判断与应用.

    考点点评: 本题以函数的奇偶性、周期性和图象的对称性为载体,考查了命题真假的判断及其理论证明,属于基础题.