已知函数f(x)=xsinx+2cosx 的定义域为(-π,π)

5个回答

  • 【符号说明】∵代表“因为”,∴代表“所以”,f'(x)与f''(x)分别代表f(x)的一阶和二阶导数

    (1)证明:

    ∵f(x)=xsinx+2cosx

    ∴f'(x)=(xsinx)'+(2cosx)'=(x'sinx+x(sinx)')+2(-sinx)=sinx+xcosx-2sinx=xcosx-sinx

    ∴f''(x)=(f'(x))'=(xcosx)'-(sinx)'=(cosx+x(-sinx))-cosx=-xsinx

    ∵当x∈[0,π)时,x≥0,sinx≥0,故f''(x)=-xsinx≤0

    当x∈(-π,0)时,x<0,sinx<0,故f''(x)=-xsinx<0

    ∴当x∈(-π,π)时,f''(x)=-xsinx≤0.

    ∴f'(x)在f(x)的定义域(-π,π)上单调递减,且易得f'(x)在x=π和x=-π处连续,

    ∴f'(x)>f'(π)=πcos(π)-sin(π)=π*1-0=π

    f'(x)<f'(-π)=-πcos(-π)-sin(-π)=(-π)*1-0=-π

    ∴-π<f'(x)<π

    ∵对于直线l:πx+ysinθ+c=0来说,

    (ⅰ)当sinθ=0时,直线方成变为πx+c=0,直线斜率k=+∞,不满足-π<k<π

    (ⅱ)当sinθ=0时,直线斜率为k=-π/sinθ,所以|k|=π/|sinθ|≥π(因为0<|sinθ|≤1),不满足-π<k<π

    ≠,直线方程其斜率k=+∞,不满足-π<k<π

    ∴任取x∈(-π,π),f'(x)≠k,k表示直线l的斜率,而f'(x)就是代表曲线y=f(x)在点x处的切线斜率

    所以直线l不可能是f(x)图像在定义域内任意一点的切线.证毕.

    ∵定义域(-π,π)关于原点(0,0)对称,且在(-π,π)上

    f(-x)=(-x)sin(-x)+2cos(-x)=(-x)(-sinx)+2cosx=xsinx+2cosx=f(x)

    ∴f(x)在定义域上是偶函数,故f(x)在(-π,0]与[0,π)上有相反的单调性

    ∵由第(1)问过程得f'(x)在(-π,π)上单调递减

    ∴当x∈(-π,0]时f'(x)≥f'(0)=0cos0-sin0=0,故f(x)在(-π,0]上单调递增,故f(x)在[0,π)上单调递减

    ∴f(x)在(0,π)上单调递减.

    ∵asinx+bcosx=(√a^2+b^2)sin(x+φ),asinx-bcosx=(√a^2+b^2)sin(x-φ),其中tanφ=a/b;

    又因为a^2+b^2<π^2故√a^2+b^2<π,故|(√a^2+b^2)sin(x+φ)|<π且|(√a^2+b^2)sin(x-φ)|<π(因为|sin(x+φ)|,|sin(x-φ)|<1)

    ∴|asinx+bcosx|,|asinx-bcosx|<π故asinx+bcosx,asinx-bcosx∈(-π,π)

    由第(2)问结论及最后两步过程得,f(x)在定义域(-π,π)上是先增后减的偶函数;在(-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减.

    又∵f(asinx+bcosx)<f(asinx-bcosx)

    ∴易得|asinx+bcosx|>|asinx-bcosx|

    由于|asinx+bcosx|>|asinx-bcosx|的解与(asinx+bcosx)^2>(asinx-bcosx)^2是一样的(因为|A|>|B|等价于A^2>B^2,证明非常容易不赘述)

    ∴(asinx)^2+(bcosx)^2+2(asinx)(bcosx)>(asinx)^2+(bcosx)^2-2(asinx)(bcosx)

    ∴4(asinx)(bcosx)=4absinxcosx=2absin2x>0

    ∴absin2x>0

    ∵2x∈(-π/2,π/2)

    ∴ab>0时,sin2x>0故2x∈(0,π/2)故x∈(0,π/4);

    ab<0时,sin2x<0故2x∈(-π/2,0)故x∈(-π/4,0);

    ab=0时,无解.

    综上所述,

    1)当a,b同号且皆不为0时,不等式解集为(0,π/4);

    2)当a,b异号且皆不为0时,不等式解集为(-π/4,0);

    3)当a=0或b=0时,不等式解集为空集(不等式无解).